Tanjantı toplam fark formülleri nasıl ispatlanır?

Tanjant toplam ve fark formülleri, trigonometri alanında önemli bir yere sahiptir. Bu formüllerin ispatı, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının temel özelliklerinden yola çıkarak gerçekleştirilir. Bu sayede, tanjantın nasıl hesaplandığını ve farklı açılar arasındaki ilişkiyi daha iyi anlayabiliriz. Bu makalede, tanjant toplam ve fark formüllerinin adım adım nasıl ispatlandığını keşfedeceğiz.

Tanjant toplam ve fark formüllerini ispatlamanın en kolay yolu, tanjantın sinüs ve kosinüsün oranı olduğunu ( ) kullanmaktır.

İşte adım adım basit bir ispat:

1. Toplam Formülü İspatı:

Önce bildiğimiz sinüs ve kosinüs toplam formüllerini yazalım:

Şimdi bunları birbirine oranlayalım: tan ( a + b ) = sin ( a + b ) cos ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b cos a cos b − sin a sin b tangent open paren a plus b close paren equals sine open paren a plus b close paren over cosine open paren a plus b close paren end-fraction equals the fraction with numerator sine a cosine b plus cosine a sine b and denominator cosine a cosine b minus sine a sine b end-fraction

Bu ifadeyi tanjant cinsinden yazabilmek için payı ve paydayı ifadesine bölelim:

tan ( a + b ) = sin a cos b cos a cos b + cos a sin b cos a cos b cos a cos b cos a cos b − sin a sin b cos a cos b tangent open paren a plus b close paren equals the fraction with numerator the fraction with numerator sine a cosine b and denominator cosine a cosine b end-fraction plus the fraction with numerator cosine a sine b and denominator cosine a cosine b end-fraction and denominator the fraction with numerator cosine a cosine b and denominator cosine a cosine b end-fraction minus the fraction with numerator sine a sine b and denominator cosine a cosine b end-fraction end-fraction

Gerekli sadeleştirmeleri yaptığımızda:

• olduğunu görürüz.

Sonuç: tan ( a + b ) = tan a + tan b 1 − tan a ⋅ tan b tangent open paren a plus b close paren equals the fraction with numerator tangent a plus tangent b and denominator 1 minus tangent a center dot tangent b end-fraction

2. Fark Formülü İspatı:

Fark formülü için yukarıdaki formülde b b yerine − b negative b yazmanız yeterlidir. Tanjant fonksiyonu "tek fonksiyon" olduğu için olur.

tan ( a − b ) = tan a + tan ( − b ) 1 − tan a ⋅ tan ( − b ) tangent open paren a minus b close paren equals the fraction with numerator tangent a plus tangent negative b and denominator 1 minus tangent a center dot tangent negative b end-fraction

Eksiyi dışarı çıkardığımızda:

Sonuç: tan ( a − b ) = tan a − tan b 1 + tan a ⋅ tan b tangent open paren a minus b close paren equals the fraction with numerator tangent a minus tangent b and denominator 1 plus tangent a center dot tangent b end-fraction

Kısaca özetlersek: Üstteki işaret ana işlemle aynıdır, alttaki işaret ise daima zıttır.